重新审视局部回归：形状正则性、一致收敛速率与随机划分的局限

考虑逐点和一致范数估计，我们分析了 Lipschitz 回归函数局部平均估计量的非渐近行为。在基于局部化集的 VC 族的估计量的一般偏差界的基础上，我们引入了形状正则局部映射的概念，其中平均化是在具有几乎各向同性几何形状的集合上进行的。我们的主要信息是一个刻画：形状正则性对于达到最优速率（至多差对数因子）既是必要的也是充分的。必要性是通过一个显式的各向异性例子非渐近地建立的，这加深了以前在渐近理论中仅被启发式理解的现象。然后我们得出两个推论。首先，简单的 $k$-最近邻规则在构造上是形状正则的，即使在无界支撑上也能达到最优速率。其次，也许令人惊讶的是，流行的树的随机划分条件——已知能确保一致性和消失的胞腔直径——并不能保证最优速率：对于盲目的树构造，胞腔纵横比随深度呈指数发散，因此形状正则性以正概率失效。这表明缺乏几何校正机制，而不是缓慢缩小的直径，才是达到最优性的障碍。受此差距的启发，我们提出了一种树构造，通过对允许划分的简单约束来强制形状正则性，并证明了一个一致偏差不等式，表明它恢复了 Lipschitz 函数的最优速率。