Hirsch 函数遇上 Fibonacci 与 Narayana 型变体

对于 $\mathbb{R}^{+}$ 中连续变量的函数 $f$，我们证明 Hirsch 函数 $h_f$ 等于 $f$ 当且仅当在 $\mathbb{R}^{+}$ 上 $(f(f(x)) = x f(x))$，对于连续 $f$ 这导出 $f$ = $\emptyset$ 或幂函数 $f(x)$ = $x^{\alpha}$，$\alpha= (\sqrt{5} +1)/2$。对于 $\mathbb{R}^{+}$ 中离散正变量的函数，我们证明 $h_f$ = $f$ 意味着仅有平凡函数 $f$ = {(1,1)} 满足此式。我们还研究了问题 $h_f = f \circ f$，且对于 $f = g \circ g$，$h_f = g$ 在连续变量情形导出零函数或另一幂律，在离散变量情形再次导出 $f$ = {(1,1)}。两个问题均涉及 Fibonacci 序列变体的研究，为此我们证明并应用了非平凡恒等式以求解上述问题。