实数序列小间隙的度论理论

设 $(a_n)_{n \geq 1}$ 为一个由互不相同的正整数组成的序列。Rudnick 启动了关于序列 $\{\alpha a_n \text{ mod }1, 1\leq n \leq N\}$ 作为 $N \to \infty$ 时最小间隙的度论理论，他证明了最小间隙可表达为 $\{a_1,\ldots,a_N\}$ 的加法能量的渐近上界。后来，Aistleitner、El-Baz 和 Munsch 证明，此类序列的最小间隙度论理论并非由加法能量决定，而是由 $\{a_1,\ldots,a_N\}$ 的差集基数决定。他们建立了一个针对最小间隙典型渐近阶数的尖锐收敛测试，并证明了一系列易于应用的通用上界和下界。其证明的关键要素依赖于 Koukoulopoulos 和 Maynard 对 Duffin--Schaeffer 猜想的解决。在本文中，我们将 Aistleitner、El-Baz 和 Munsch 关于整数序列的结果推广到实数序列。尽管 $\delta_{\min}^{\alpha}(N)$ 的上界尚未寻得，但我们获得了其取整后值 $\lfloor \delta^{\alpha}_{\min} \rfloor (N)$ 对于实数序列 $(a_n)_{n \geq 1}$ 的上界。我们的定理恢复了 Aistleitner、El-Baz 和 Munsch 文章中的定理 1-3，以及该文第 4.3 节的结果。此外，我们对 well-spaced 序列的最小间隙以及更广泛的一族包含其的序列的下界进行了推导。