数据流上的最大唯一覆盖：改进的固定参数可达近似方案与更紧的空间下界

我们考虑最大唯一覆盖问题，包括数据流模型中的应用。输入为 $n$ 个元素的宇宙，以及该宇宙的子集集合，以及一个基数约束 $k$。目标是选择至多 $k$ 个子集的子集合，以最大化唯一覆盖，即选中子集恰好包含的一个元素的数量。最大唯一覆盖问题在无线网络、无线电广播和 envy-free 定价中具有应用。我们的第一个主要结果是针对最大唯一覆盖问题提出的固定参数可达近似方案 (FPT-AS)，参数为 $k$ 和最大元素频率 $r$，可在数据流上实现。我们的 FPT-AS 在保持大小为 $\tilde{O}(k r/\epsilon)$ 的核的同时，找到 $(1-\epsilon)$ 的近似解，可通过抽样组合使用，从而总体上使用 $\tilde{O}(k^2 r / \epsilon^3)$ 的空间。这显著改进了之前最好的 FPT-AS，后者在相同近似下拥有大小为 $\tilde{O}(k^2 r / \epsilon^2)$ 的核。为实现我们的結果，我们展示了集合覆盖与最大化子集合唯一覆盖之比的上界；这通过构建显式算法来实现，这些算法找到的子集合的唯一覆盖至少为集合覆盖的对数比率。我们用我们的第二个主要结果补充我们的算法，表明需 $\Omega(m / k^2)$ 空间才能在数据流中实现 $(1.5 + o(1))/(\ln k - 1)$ 的近似。这是在显示需 $\Omega(m / k^2)$ 空间才能实现比 $e^{-1+1/k}$ 更好的近似的之前最佳下界的显著改进。