Nakamura 猜想的约化三线性重构

Tomimatsu-Sato (TS) 族以旋转参数 $q$ 和 TS 指数 $\delta=n$ 为特征，提供了爱因斯坦方程的一类重要的精确稳态轴对称真空解，其可积结构已知通过 Nakamura 猜想与 $n$ 点 Toda 分子层次密切相关。然而，Nakamura 猜想中出现的方程组不仅包含 Hirota 双线性导数，还包含普通的一阶导数项，因此并未完全在传统的双线性代数框架内表述。在本文中，我们引入了一种基于 $Z_3$ 对称三线性 Hirota 算子的约化扇区 $(a,b,c)\rightarrow(a,b,1)$ 的约化三线性表述。我们证明了 Nakamura 猜想中出现的 Hirota 双线性导数和普通导数都可以完全在这个约化三线性框架内重写。因此，该方程组允许用约化三线性算子来表述。我们进一步表明，约化三线性表述自然地继承了 Hirota 型直接方法。传统的双线性谱因子 $k_i-k_j$ 被 $Z_3$ 加权组合 $k_i+\omega k_j$ 和 $k_i+\omega^2k_j$ 所取代，提供了约化三线性层次特有的直接方法结构。这些结果表明，Tomimatsu-Sato 层次的 Toda 分子描述可以被视为更广泛三线性框架的一个约化扇区，并为稳态轴对称引力的可积结构提供了新的视角。