凸风险度量的递归优化：均值-半偏差模型

我们针对一类新颖、通用且由应用驱动的凸风险度量——此处称为均值-半偏差（mean-semideviations），严格推广了著名且常用的均值-上半偏差（mean-upper-semideviation）——开发了递归的、数据驱动的随机次梯度方法以进行优化。我们引入了 MESSAGEp 算法，这是一种高效的复合次梯度过程，用于迭代求解凸均值-半偏差风险厌恶问题至最优。我们在灵活且利用结构的问题假设集下分析了 MESSAGEp 算法的渐近行为。具体而言：1）在适当的步长规则下，我们以强技术意义建立了 MESSAGEp 算法的路径wise收敛，确认其渐近一致性。2）假设强凸代价，我们证明对于固定的半偏差阶数 $p>1$ 以及 $\epsilon\in\left[0,1\right)$，MESSAGEp 算法达到阶数为 ${\cal O}(n^{-\left(1-\epsilon\right)/2})$ 次迭代的平方-${\cal L}_{2}$ 解次优性速率，其中对于 $\epsilon>0$ 同时保证路径wise收敛。该结果确立了任意接近 ${\cal O}(n^{-1/2})$ 的速率阶，同时确保强稳定的路径wise运行。对于 $p\equiv1$，速率阶改善为 ${\cal O}(n^{-2/3})$，这也足以保证路径wise收敛，并与先前结果一致。3）同样，在凸代价的一般情形下，我们证明对于任意 $\epsilon\in\left[0,1\right)$，带迭代平滑的 MESSAGEp 算法达到阶数为 ${\cal O}(n^{-\left(1-\epsilon\right)/\left(4\bf{1}_{\left\{ p>1\right\} }+4\right)})$ 次迭代的 ${\cal L}_{1}$ 目标次优性速率。该结果给出了最大速率：若 $p\equiv1$ 为 ${\cal O}(n^{-1/4})$，若 $p>1$ 为 ${\cal O}(n^{-1/8})$，也与现有最优水平相当。