特定 H\'enon 映射逃逸集的刚性

设 $H$ 为形如 $H(x,y)=(y,p(y)-ax)$ 的 H\'enon 映射。我们证明了 $H$ 的逃逸集 $U^+$（或等价地，非逃逸集 $K^+$）在 $\mathbb{C}^2$ 自同函数作用下的刚性，当 $H$ 的次数 $d\leq |a|$ 时。具体地，每一个保 $U^+$ 的 $\mathbb{C}^2$ 自同函数，本质上取形式为 $C \circ H^s$，其中 $s \in \mathbb{Z}$，且 $C(x,y)=(\eta x, \eta^d y)$，其中 $\eta$ 为某个 $(d^2-1)$ 次单位根。因此，我们表明，作为 H\'enon 映射 $H$ 对应的正 Green 函数次级集（对于严格正值）得到的短 $\mathbb{C}^2$ 的自同函数，本质上是保逃逸集 $U^+$ 的 $\mathbb{C}^2$ 线性映射。故而，这些短 $\mathbb{C}^2$ 的自同函数群相同、有限，且是 $\mathbb{Z}_{d^2-1}$ 的子群。