用于非光滑复合优化的随机坐标次梯度法

由于次微分的多值性，用于解决非光滑优化问题的坐标型次梯度方法相对未被充分探索。本文的研究聚焦于非光滑复合优化问题，其涵盖了一大类凸和弱凸（非凸非光滑）问题。通过恰当利用复合结构的链式法则，我们引入了随机坐标次梯度法（RCS）来处理该类问题。据我们所知，这是首个用于求解一般非光滑复合优化问题的坐标次梯度法。在理论上，我们考虑了目标函数的线性有界次梯度假设，该假设比传统的 Lipschitz 连续性假设更通用，以契合实际场景。基于此广义 Lipschitz 型假设，我们对 RCS 在凸和弱凸两种情形下进行了收敛性分析。具体而言，当 $f$ 为凸时，我们建立了关于次优间隙的 $\widetilde{\mathcal{O}}$$(1/\sqrt{k})$ 期望收敛率和 $\tilde o(1/\sqrt{k})$ 几乎必然渐近收敛率。当 $f$ 为弱凸且其次微分满足全局度量次正则性质时，我们推导出了 $\mathcal{O}(\varepsilon^{-4})$ 期望迭代复杂度，并给出了渐近收敛结果。为论证分析中使用的全局度量次正则性质，我们针对具体的（实值）鲁棒相位恢复问题建立了该误差界条件。我们还提供了收敛引理，以及弱凸函数与其 Moreau 包络的全局度量次正则性质之间的关系。最后，我们进行了若干实验以展示 RCS 相对于次梯度法的潜在优越性。