参数积分的随机复杂度与自适应的作用 II. Sobolev 空间

我们研究来自 Sobolev 空间的被积函数的参数相关积分的随机计算复杂度。即，对 $r,d_1,d_2\in{\mathbb N}$、$1\le p,q\le \infty$、$D_1= [0,1]^{d_1}$ 与 $D_2= [0,1]^{d_2}$，给定 $f\in W_p^r(D_1\times D_2)$，我们寻求以 $L_q(D_1)$ 范数度量误差来逼近 $$Sf=\int_{D_2}f(s,t)dt\quad (s\in D_1).$$ 我们的结果扩展了 Heinrich 与 Sindambiwe（J. Complexity, 15 (1999), 317--341）关于 $p=q=\infty$ 以及 Wiegand（Shaker Verlag, 2006）关于 $1\le p=q<\infty$ 的先前工作。Wiegand 的分析在假设 $W_p^r(D_1\times D_2)$ 连续嵌入 $C(D_1\times D_2)$（嵌入条件）下展开。我们也研究嵌入条件不成立的情形。为此开发了一个新工具——随机离散化技术。本文基于第一部分，其中研究了向量值均值计算——参数积分的有限维对应问题。在第一部分中，解决了基于信息复杂性中关于随机设定下线性问题自适应能力的根本问题。此处解决了该问题的进一步方面。