线性不适定问题的随机块坐标下降法

考虑形如 $\sum_{i=1}^{b} A_i x_i =y$ 的线性不适定问题，其中对每个 $i$，$A_i$ 是两个希尔伯特空间 $X_i$ 与 ${\mathcal Y}$ 之间的有界线性算子。当 $b$ 很大时，使用每次迭代步中采用全梯度的迭代方法求解该问题既耗时又内存不足。尽管随机块坐标下降法已被证明是解决适定大规模优化问题的高效方法且内存需求小，但针对不适定问题的 RBCD 方法仍缺乏收敛性分析。本文研究了在含噪数据下，采用先验或后验停止规则的 RBCD 方法的收敛性质。我们证明，结合先验停止规则的 RBCD 方法生成的序列几乎必然弱收敛到问题的一个解。我们还考虑了 RBCD 方法的早期停止，并证明了分歧原则几乎必然能在有限步后终止迭代。对于一类具有特殊张量积形式的不适定问题，我们得到了 RBCD 方法的强收敛结果。此外，我们考虑将凸正则化项引入 RBCD 方法，以增强对解特征的检测。为说明该方法的理论和性能，我们报告了来自计算机断层扫描和压缩时间成像模态的数值模拟结果。