具有两个原点的直线上的量子力学

我们研究了具有两个原点的标准直线上的标量和旋量量子动力学，$$\Ltwo=(\R_1\sqcup\R_2)/\!\sim, \qquad (x,1)\sim(x,2)\quad\text{for }x\neq0,$$ 配备其恒等粘合的光滑结构和平坦度量。我们首先表明，普通的标量理论对双原点不敏感：从 $\Ltwo$ 到 Hausdorff 空间的每个连续映射都通过商映射 $q:\Ltwo\to\R$ 分解，而对于自然测度，$$C^\infty(\Ltwo)\cong C^\infty(\R), \qquad L^2(\Ltwo)\cong L^2(\R).$$ 因此，自然的标量自由哈密顿量酉等价于 $\R$ 上的自由拉普拉斯算子。然而，双原点在与非平凡自旋结构相关的旋量线上仍然是可见的。$\Ltwo$ 上的定向平坦结构允许两种自旋结构，由图表重叠的两个连通分量上的相对跃迁符号区分。对于非平凡结构，这些符号是相反的。这迫使每个连续的全局旋量截面在两个原点处消失，并且每个光滑截面在原点处无限阶消失。相关的在紧支撑光滑扭曲截面上的第一阶算子 $$-i\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$$ 是对称的但不是本质自伴的：其亏指数为 $(1,1)$，自伴的第一阶演化需要在原点处有额外的透射条件。与平坦扭曲结构相关的自然正二次型反而产生两个 Dirichlet 半直线拉普拉斯算子的直和，因此产生完美反射。因此，普通的标量理论不检测双原点，而非平凡粘合的旋量线则检测，尽管自旋结构本身并不决定唯一的酉透射定律。