基于哈密顿量模拟线性组合的量子特征值变换：一种 Weyl 微积分方法

哈密顿量模拟线性组合（LCHS）提供了一种在量子计算机上实现矩阵指数 $e^{-tA}$ 的高效方法。在本文中，我们为计算一般矩阵函数 $f(A)$ 开发了 LCHS 公式，其中 $f$ 在 $A$ 的数值域上解析，且 $A$ 可能是非正规的。核心技术工具是 Weyl 微积分，它将非交换算子的 LCHS 公式构造归约为标量傅里叶逼近问题。我们的构造产生了一个具有最优 $\mathcal{O}(\log\frac{1}{\epsilon})$ 查询复杂度缩放的量子特征值变换算法。此外，我们基于 Weyl 微积分的理论产生了一个无拟设的凸优化框架，可直接产生离散 LCHS 公式。这规避了传统求积规则的低效性，并产生了高度优化以在量子计算机上相干实现的公式。此外，我们的理论和优化框架均适用于时变耗散 ODE $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \psi(t) = -A(t)\psi(t)$ 的模拟，对此我们实现了相较于先前工作 2.1 倍的成本降低。