面向相关高斯向量及其指数运算的量子类比编码及其粗波动性应用

量子计算可能加速涉及大型矩阵的数值问题，这些问题对经典计算机而言负担沉重，相关研究正在进行中。本文我们提出了针对归一化相关高斯随机向量$|\vec{x}\rangle=\vec{x}/\|\|\vec{x}\|\|$，$\vec{x}\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)$及其指数化$|\mathrm{e}^{\vec{x}} \rangle= \mathrm{e}^{\vec{x}}/\|\|\mathrm{e}^{\vec{x}}\|$的量子算法。当存在用于协方差矩阵$\Sigma \in \mathbb{R}^{N\times N}$的$O(\mathrm{polylog} N)$门深度量子数据加载器时，准备$|\vec{x}\rangle$和$|\mathrm{e}^{\vec{x}}\rangle$分别需要$\widetilde{O}\left(\frac{\|\Sigma\|_F}{\lambda_{\max}}\kappa^{1.5}\right)$和$\widetilde{O}\left(\|\vec{x}\|\frac{\|\Sigma\|_F}{\lambda_{\max}}\kappa^{1.5}\right)$的初等门深度，其中$\|\Sigma\|_F$, $\lambda_{\max}$, $\kappa$分别表示协方差矩阵的弗罗贝尼乌斯范数、最大特征值和条件数。受金融应用的启发，我们在$\vec{x}$代表黎西乌-莱布尔或标准分数布朗运动样本路径，或代表平稳分数Ornstein-Uhlenbeck过程时，提供了端到端的资源分析。作为具体例子，我们构建了对粗Bergomi方差过程进行量子态编码的量子算法，并分析了通过量子幅度估计提取积分方差的方法。在特定条件下，$\|\Sigma\|_F/\lambda_{\max}$和$\kappa$关于$N$的依赖性较小，实现了$N$的亚立方复杂度，表明相对于经典Cholesky采样方法实现了量子优势。就我们所知，这构成了第一个用于指数化高斯过程�幅编码的量子算法框架，为量子增强金融建模提供了基础原语。