邻域保持嵌入的量子算法

邻域保持嵌入(NPE)是一种重要的线性降维技术，旨在保持局部流形结构。NPE包含三个步骤，即寻找每个数据点的最近邻、构建权重矩阵以及获得变换矩阵。Liang等人提出了一种用于NPE的变分量子算法(VQA)[Phys. Rev. A 101, 032323 (2020)]。该算法由三个量子子算法组成，分别对应NPE的三个步骤，并预期在维数$n$上具有指数级加速。然而，该算法有两个缺点：(1) 它是不完备的，因为第三个子算法的输入无法由第二个子算法得到。(2) 其复杂度无法严格分析，因为其中的第三个子算法是一个VQA。在本文中，我们提出了一种完备的NPE量子算法，其中重新设计了三个子算法并给出了严格的复杂度分析。结果表明，在某些条件下，相对于经典NPE算法，我们的算法在数据点数量$m$上可实现多项式加速，在维数$n$上可实现指数加速，并且即使不考虑VQA的复杂度，相较于Liang等人的算法也实现了显著加速。