基于柯西积分公式的矩阵函数量子算法

对于矩阵$A$、向量$\boldsymbol{b}$和函数$f$，向量$f(A)\boldsymbol{b}$的计算出现在许多科学计算应用中。我们考虑获取对应于向量$f(A)\boldsymbol{b}$的量子态$\lvert f \rangle$的问题。存在一种利用特征值估计（使用相位估计与哈密顿量模拟$\mathrm{e}^{\mathrm{{\bf i}} A t}$）计算态$\lvert f \rangle$的量子算法。然而，基于特征值估计的算法需要$\textrm{poly}(1/\epsilon)$的运行时间，其中$\epsilon$为输出态的期望精度。此外，若矩阵$A$不是厄米的，$\mathrm{e}^{\mathrm{{\bf i}} A t}$不是酉的，我们无法运行特征值估计。本文提出一种利用柯西积分公式与梯形法则以避免特征值估计的量子算法。我们证明该算法运行时间为$\mathrm{poly}(\log(1/\epsilon))$，且即使$A$不是厄米的也能输出态$\lvert f \rangle$。