量化数学表达式之间的行为不相似性

量化数学表达式之间的相似性是计算数学、符号推理和科学发现中的一个基本问题。虽然行为层面的相似性概念此前在软件和程序分析的语境中被探索过，但现有的针对数学表达式的相似性度量主要依赖于语法形式，通过符号结构来评估相似性，而非实际行为。然而，语法上不同的表达式可以几乎产生相同的输出，而在结构上相似的表达式可能行为截然不同——尤其是当这些表达式包含定义函数族的自由参数时。为解决这些局限性，我们引入行为感知表达式不相似性（Behavior-aware Expression Dissimilarity, BED），这是一个系统性的框架，用于量化带有自由参数的数学表达式之间的行为距离。BED将表达式表示为其输入输出对上的联合概率分布，并应用Wasserstein距离来衡量行为不相似性。提出了一种计算效率高的随机近似方法，证明其一致性、稳健性，并且能够比基于语法的度量更好地引导表达式空间上的更光滑、更有意义的结构。该方法为基于行为的比较、聚类和数学表达式的学习提供了基础，潜在可直接应用于方程发现、符号回归和神经符号建模。