最小平方和聚类问题的定性性质
最优化与控制
2018-10-05 v1
摘要
本文建立了一系列最小平方和聚类问题的基本定性性质。其中，我们阐明了解的存在性、全局解的性质、局部解的特征性质、最优值函数的局部 Lipschitz 性质、全局解映射的局部上半 Lipschitz 性质，以及局部解映射的 Aubin 性质。我们证明了该问题始终存在全局解，并且在温和条件下全局解集有限且每个全局解的分量可由显式公式算出。基于新引入的非平凡局部解概念，我们得到了质心系统成为非平凡局部解的必要条件。有趣的是，我们能够证明这些必要条件同时也是充分条件。最后，证明了在原始数据点两两互异的前提下，最优值函数是局部 Lipschitz 的，全局解映射是局部上半 Lipschitz 的，且局部解映射具有 Aubin 性质。得益于所获得的非平凡局部解的完整刻画，人们能够更好地理解不仅 -means 算法，而且其他求解最小平方和聚类问题的方法的性能。
引用
@article{arxiv.1810.02057,
title = {Qualitative Properties of the Minimum Sum-of-Squares Clustering Problem},
author = {Tran Hung Cuong and Jen-Chih Yao and Nguyen Dong Yen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1810.02057},
year = {2018}
}