带切换变量的二次优化：n=2 时的凸包

我们考虑变量 $(x,y)$ 满足 $0\le x\le y$ 且 $y\in\{0,1\}^n$ 的二次优化问题。此类二元 $y$ 通常被称为“指示”或“切换”变量，并在应用中频繁出现。处理此类问题的一种方法基于表示或逼近集合 $\{ (x,xx^T, yy^T) : 0\le x\le y\in\{0,1\}^n\}$ 的凸包。已知 $n=1$ 情形的表示并已广泛使用。我们通过先给出凸包的不交并表示，再消去不改变到原变量投影的辅助变量与约束，给出了 $n=2$ 情形的精确表示。对该表示的另一种推导引出了一个引人关注的猜想：当忽略乘积项 $y_1y_2$ 时，$n=2$ 凸包的简化表示。