随机置换的最可能阶数

Wei Huang; Yi Ge; Shuai Yang; Yicheng Xiao; Huizi Mao; Yujun Lin; Hanrong Ye; Sifei Liu; Ka Chun Cheung; Hongxu Yin; Yao Lu; Xiaojuan Qi; Song Han; Yukang Chen

随机置换的最可能阶数

机器学习 2025-10-14 v1 计算与语言计算机视觉与模式识别

作者: Wei Huang , Yi Ge , Shuai Yang , Yicheng Xiao , Huizi Mao , Yujun Lin , Hanrong Ye , Sifei Liu , Ka Chun Cheung , Hongxu Yin , Yao Lu , Xiaojuan Qi , Song Han , Yukang Chen

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摘要

给定正整数 $n$ 和 $m$ , 设 $p_n(m)$ 为均匀随机排列 $[n]$ 的阶为恰好 $m$ 的概率。我们证明，当 $n \to \infty$ 时， $p_n(m)$ 在所有 $m$ 上的最大值渐近等于 $1/n$ ，即 $n$ 循环的概率。此外，对于充分大的 $n$ ，我们证明最大值恰好在 $m$ 为能被 $[n]$ 中所有正整数小于或等于 $n-m$ 的最小正整数时取得。这解答了 Acan、Burnette、Eberhard、Schmutz 和 Thomas 的问题，最初归因于 Erd\H{o}s 和 Tur\'an 于 1968 年的工作。

关键词

随机置换置换阶数概率论渐近分析组合数学

引用

@article{arxiv.2510.11696,
  title  = {QeRL: Beyond Efficiency -- Quantization-enhanced Reinforcement Learning for LLMs},
  author = {Wei Huang and Yi Ge and Shuai Yang and Yicheng Xiao and Huizi Mao and Yujun Lin and Hanrong Ye and Sifei Liu and Ka Chun Cheung and Hongxu Yin and Yao Lu and Xiaojuan Qi and Song Han and Yukang Chen},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2510.11696},
  year   = {2025}
}

备注

Code is available at https://github.com/NVlabs/QeRL

随机置换的最可能阶数

摘要

关键词

引用

备注

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