基于成员 oracle 的无投影自适应遗憾界

在线凸优化框架中，多数迭代算法需计算到凸集上的投影，这可能计算代价高昂。为应对该问题，HK12 提出研究以较廉价计算替代投影的无投影方法。最常见方法基于 Frank-Wolfe 方法，其以线性优化计算代替投影。GK22 近期工作基于 Frank-Wolfe 方法给出了无投影算法的次线性自适应遗憾保证。本文给出基于不同技术的无投影算法，其受 Mhammedi22 启发，以集合成员计算替代投影。我们提出一种简单的基于惰性梯度的 Minkowski 正则化算法，获得近最优自适应遗憾界。对一般凸损失函数，我们将先前自适应遗憾界从 $O(T^{3/4})$ 提升至 $O(\sqrt{T})$，并进一步至紧的区间依赖界 $\tilde{O}(\sqrt{I})$，其中 $I$ 表示区间长度。对强凸函数，我们首次利用无投影算法获得多对数自适应遗憾界。