半线性椭圆方程带测度数据的广义解

我们解决了 H. Brezis、M. Marcus 与 A.C. Ponce 在《Nonlinear elliptic equations with measures revisited》（载于：Mathematical Aspects of Nonlinear Dispersive Equations (J. Bourgain, C. Kenig, S. Klainerman 编)，Annals of Mathematics Studies, 163 (2007)）中提出的一个公开问题。我们证明：对于光滑有界域 $D\subset\mathbb R^d$ 上的任意有界 Borel 测度 $\mu$ 以及 $\mathbb R$ 上渐近凸、非减、非负连续函数 $g$，半线性方程 (P)：$-\Delta u+g(u)=\rho_n\ast\mu$（$\rho_n$ 为磨光核）在齐次 Dirichlet 条件下解序列收敛于将 (P) 中 $\rho_n\ast\mu$ 替换为约化测度 $\mu^*$（到良测度空间的度量投影）时所对应的解函数。我们还给出了在 $g$ 上无非负假设时该结果的相应版本。