防止社交网络中的 unraveling 现象变得更加困难

社交网络中用户的行为常观察到受其朋友行为的影响。Bhawalkar 等人 \cite{bhawalkar-icalp} 引入了一种形式化的数学模型来描述社交网络中的用户参与度，其中每个个体获得的收益与其参与的朋友数量成正比。给定阈值度数 $k$，该模型的均衡是一个最小度 $\geq k$ 的极大子图。然而，度数小于 $k$ 的个体退出可能会引发迭代退出的级联效应，导致均衡子图的规模变得非常小。为了克服这一问题，引入了一些称为“锚点”的特殊顶点：这些顶点不需要具有较大的度数。Bhawalkar 等人 \cite{bhawalkar-icalp} 考虑了 \textsc{Anchored $k$-Core} 问题：给定图 $G$ 和整数 $b, k$ 及 $p$，是否存在顶点集 $B\subseteq H\subseteq V(G)$，使得 $|B|\leq b, |H|\geq p$，且在诱导子图 $G[H]$ 中每个顶点 $v\in H\setminus B$ 的度数至少为 $k$。他们证明了该问题在 $k\geq 2$ 时是 NP-hard 的，并给出了一些不可近似性和固定参数难解性结果。在本文中，我们给出了该问题的改进难解性结果。具体而言，我们证明了 \textsc{Anchored $k$-Core} 问题在参数化为 $p$ 时是 W[1]-hard 的，即使对于 $k=3$ 也是如此。这改进了 Bhawalkar 等人 \cite{bhawalkar-icalp} 的结果（他们证明了参数化为 $b$ 时的 W[2]-hardness），因为我们的参数总是更大（$p\geq b$）。接着，我们回答了 Bhawalkar 等人 \cite{bhawalkar-icalp} 提出的一个问题，证明了对于所有 $k\geq 3$，即使图的最大度数为 $k+2$，\textsc{Anchored $k$-Core} 问题在平面图上仍然是 NP-hard 的。最后，我们证明了对于所有 $k\geq 7$，该问题在参数化为 $b$ 时在平面图上是 FPT 的。