所有主子式等于 1 的矩阵的幂

考虑一个所有主子式都等于 $1$ 的方阵 $A$。在域上，这个性质被 $A$ 的任何幂继承，但在任意交换环上则不然。我们证明在任何正则环上，以及在环 $\mathbb{Z} / d$（对于任何整数 $d$）上，以及在某些其他设置（Prüfer 域的商和正规域的 principal 商）中，情况确实如此。这推广了 2021 年 Putnam 竞赛的 B5 问题。在任意交换环上，我们确定了一个总是被幂继承的更强性质：我们说一个矩阵 $A = \left(a_{i,j}\right)_{i,j\in\left[n\right]}$ 是强 $1$-principled 的，如果其所有对角元素均为 $1$，并且所有循环乘积 $a_{i_1, i_2} a_{i_2, i_3} \cdots a_{i_k, i_1}$（其中 $k>1$）为零。我们证明后一种乘积总是整的，关于由 $A$ 的主子式减 $1$ 生成的理想。