排列的网格化与模式匹配的硬度

我们研究了被称为排列模式匹配（Permutation Pattern Matching，PPM）的判定问题的复杂度。PPM 的输入由一对排列 $\tau$（“文本”）和 $\pi$（“模式”）组成，目标是判定 $\tau$ 是否包含 $\pi$ 作为子排列。在一般输入上，根据 Bose、Buss 和 Lubiw 的结果，已知 PPM 是 NP 完全的。在本文中，我们关注 PPM 的受限实例，即假设文本避免固定的（小）模式 $\sigma$；这种限制被称为 Av($\sigma$)-PPM。先前已经证明，对于大小不超过 3 的任何 $\sigma$，Av($\sigma$)-PPM 是多项式时间的，而对于任何包含长度为 4 的单调子序列的 $\sigma$，它是 NP 困难的。在本文中，我们提出了一种新的硬度归约，使我们能够以统一的方式证明，对于大小至少为 6 的每个 $\sigma$，除了 $41352$ 的对称类之外大小为 5 的每个 $\sigma$，以及与 $4321$、$4312$ 和 $4231$ 三个排列之一对称的每个 $\sigma$，Av($\sigma$)-PPM 都是困难的。此外，在指数时间假设下，Av($\sigma$)-PPM 的这些困难情形均无法在 $2^{o(n/\log n)}$ 时间内求解。此前，即使是未受约束的 PPM 问题也未知存在此类条件下界。在可处理性方面，我们将 Guillemot 和 Marx 的 CSP 方法与 Huczynska 和 Vatter 的结构结果相结合，证明了对于任何单调可网格化的排列类 C，当文本被限制为 C 中的排列时，PPM 是多项式时间的。