多面体矩阵分解：基于行列式最大化的准则与可辨识性

我们提出多面体矩阵分解（PMF）作为一种新颖的数据分解方法。在这一新框架中，我们将输入数据建模为若干从多面体中抽取的潜在向量的未知线性变换。就此意义而言，本文考虑了一种半结构化数据模型，其中输入矩阵被建模为一个列满秩矩阵与一个以多面体中的样本为其列向量的矩阵之乘积。多面体的选择反映了对潜在分量及其相互关系的预设特征。作为分解准则，我们针对潜在向量的样本自相关矩阵提出了行列式最大化（Det-Max）。我们引入了一个可辨识性的充分条件，该条件要求潜在向量的凸包以特定的紧致性约束包含多面体的最大体积内接椭球。基于 Det-Max 准则与所提出的可辨识性条件，我们证明了所有满足特定对称性限制的多面体均适用于 PMF 框架。无穷多的多面体选择为刻画潜在向量提供了一种灵活性。特别地，可以定义具有异质特征的潜在向量，从而能够在子向量层面赋予非负性与稀疏性等属性。本文给出了若干示例，阐明了多面体选择与其对应特征表示之间的联系。