聚类与成像中双准则、多目标及比率问题的多项式时间算法：第一部分：归一化割与比率区域

相似对象的划分与分组在图像分割和聚类问题中起着基础性作用。在此类问题中，典型目标是将相似对象（在图像处理中即为像素）归为一组。同时，另一个目标是使每个组与其余部分显著不同，并可能使组的规模相当大。这些目标通常被组合为一个比率优化问题。此类问题的一个例子是归一化割（normalized cut）问题，另一个是比率区域（ratio regions）问题。我们在此设计了首个能最优求解这些问题的多项式时间算法。这些算法高效且具有组合性质。这与图像分割文献中使用的启发式方法形成对比，后者将这些问题表述为非线性优化问题，随后进行松弛并使用实数域上的谱技术求解。这些方法不仅无法提供最优解，而且计算成本高昂。本文提出的算法使用一个相关图上的最小 $s,t$-割过程作为子程序，该图的规模为多项式大小。输出包括相应比率问题的最优解，以及针对分子和分母目标的任意相对权重的一系列嵌套解。第二部分将展示此处结果向双准则和多准则目标函数的扩展。