Pollard p-1 算法的确定性版本

在本文中，我们展示了光滑数在一些著名整数分解算法无条件去随机化中的应用。我们从 Pollard 的 $p-1$ 算法开始，该算法在随机多项式时间内找到整数 $n$ 中满足 $p-1$ 为光滑数的素因子 $p$。我们证明这些素因子可以在确定性多项式时间内恢复。我们进一步推广这一结果，对 Bach 和 Shallit 提出的 $k$-次分圆分解方法（$k\ge 2$）给出了部分去随机化。我们还研究了将分解问题归约为计算欧拉函数 $\phi$ 的问题。我们指出了一些在给定 $\phi(n)$ 的情况下，可以在确定性多项式时间内完全分解的显式整数集合 $n$。粗略地说，这些集合由素数 $p$ 的乘积组成，除了至多两个素数外，这些素数满足某些比 $p-1$ 的光滑性稍弱的条件。最后，我们证明对 $\phi$ 值的 $O(\ln n)$ 次预言机查询，足以在小于 $\exp\Bigl((1+o(1))(\ln n)^{{1/3}} (\ln\ln n)^{{2/3}}\Bigr)$ 的确定性时间内完全分解任何整数 $n$。