平面 Gossip：平面图中谣言传播的近似

我们研究多商品多播的调度设计；给定一个无向图 $G$ 和一组源-目标对，目标是调度一个最小长度的匹配序列，将每个源与其各自的目标连接起来。多商品多播建模了网络中经典的信息传播问题，其中主要的通信约束是节点可建立的连接数，而非链路带宽。多商品多播与寻找具有最优 poise 的子图 $H$ 的问题密切相关，其中 poise 定义为 $H$ 的最大度与 $H$ 中任意源-目标对之间的最大距离之和。我们首先证明，对于单商品多播，在具有 $k$ 个终端的实例中，最小 poise 子图可相对于自然 LP 松弛的值近似到 $O(\log k)$ 因子以内。这是该自然 LP 完整性间隙的首个上界。利用此 poise 结果和平面图中的最短路径分隔子，我们为平面图上的多商品多播获得了 $O(\log^3 k\log n/(\log\log n))$-近似。我们还研究了平面图中的最小时间无线电 gossip 问题，在该模型中，每个节点的消息必须传输到所有其他节点，节点可在单步内向所有邻居广播，但只有具有单个广播邻居的节点才能收到消息。我们为平面图中的无线电 gossip 给出了 $O(\log^2 n)$-近似，打破了先前的障碍。这是首个不依赖于图最大度的无线电 gossip 界。最后，我们证明我们的平面图技术可扩展到具有排除子式的图。我们为无子式图中的多商品多播和无线电 gossip 问题建立了多对数近似算法。