Okamura-Seymour 拟度量的多项式时间平面嵌入及其在分布式 SSSP 中的应用

拟度量 $(T,\delta_T)$ 是 Okamura-Seymour 拟度量，如果存在一个边加权平面嵌入有向图 $G = (V,E,w)$ 使得 $T$ 是 $G$ 外面上的终端集合，且对于每一对 $(t,t')\in T\times T$ 有 $\delta_G(t,t') = \delta_T(t,t')$。如果 $(T,\delta_T)$ 是 Okamura-Seymour 拟度量，则 $G$ 是 $(T,\delta_T)$ 的平面嵌入。在最近的一项开创性工作中，Chen 和 Tan 给出了多项式时间算法来测试给定的拟度量 $(T,\delta_T)$ 是否为 Okamura-Seymour 拟度量。他们证明中的一个关键步骤是存在性的，这足以构建高效的测试算法，但无法推导出高效的嵌入算法。本文通过线性规划给出了其存在性步骤的算法实现，从而弥补了这一差距。结果，我们获得了首个用于寻找任意给定 Okamura-Seymour 拟度量 $(T,\delta_T)$ 平面嵌入的多项式时间算法。作为应用，我们展示了如何使用 Okamura-Seymour 拟度量的平面嵌入，在分布式 CONGEST 模型中对于任意固定的 $\epsilon\in (0,1)$ 在 $\widetilde{O}(D)$ 轮内计算平面有向图中的 $(1+\epsilon)$ 近似单源最短路径（SSSP），几乎匹配了 $\Omega(D)$ 的简单下界，并解决了该领域的一个基本问题。此前该问题已知最佳算法的轮复杂度为 $\widetilde{O}(D^2)$。