相对论开普勒问题中具有预定负能量的周期轨道

使用变分方法，我们研究了相对论方程\begin{equation*} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{m\dot x}{\sqrt{1-|\dot{x}|^{2}/c^{2}}}\right) = -\alpha \frac{x}{|x|^{3}} + \nabla W(x), \qquad x\in\mathbb{R}^{N}\setminus\{0\}, \end{equation*} 的具有预定能量的周期解的存在性，其中$W$是开普勒势的低阶扰动。主要困难源于开普勒奇点对于相关的Maupertuis泛函是临界的，恰好位于弱力和强力机制之间的边界。为了克服由此产生的紧性缺失，我们使用惩罚程序并开发了一个合适的min-max方案，结合近碰撞临界序列的爆破分析。因此，我们在预定负能级上建立了周期解的存在性，在$N\geq 2$的每个维度中获得了非微扰结果。