平移不变空间的周期非唯一性集与 Gabor 系统框架性质的奇偶性障碍

本文的目标有两个。首先，我们提供了周期（但不一定是格）集的显式例子，这些集合导致 Gabor 系统无法构成框架。我们的构造仅依赖于窗函数 $g$ 的奇偶性。其次，对于一大类有限维函数空间 $V$，我们证明 $V$ 包含一个函数 $g$，使得高密度格无法生成 Gabor 框架。特别地，我们证明了 Gr\"ochenig-Lyubarskii 定理在高斯权重的有限维多项式空间中是精确的。更确切地说，对于每个 $N\in\mathbb{N}$ 和满足 $\alpha\beta=\frac{1}{N+1}$ 的每个 $\alpha,\beta>0$，我们给出了一个显式算法来寻找次数至多为 $N$ 的偶或奇多项式 $p$，使得 $\mathcal{G}(p(x)e^{-\pi x^2}, \alpha\mathbb{Z} \times \beta\mathbb{Z})$ 不构成框架。证明是构造性的、初等的，并且基于线性代数。