多边形数序列中的完全幂

设$P_s(n)$表示第$n$个$s$边形数。考虑丢番图方程$P_{s}(n) = t^{m}$，其中$n, s, t$为整数且$m > 2$。对于$m>2$和$s\in\{3,5,6,8,10,20\}$，该方程的所有解已知。这里我们将这些结果扩展到$s = 2k+4$（其中$k = 4,6$或$5 \leq k \leq 97$为素数）和$s = k+4$（其中$k = 9,15$或$3 \leq k \leq 97$为素数）的情形。我们结果的证明使用了模方法和超几何方法、对数线性形式以及大量计算。我们未能完全求解上述丢番图方程，但我们期望（基于GRH和弱有效$abc$猜想）除了定理1、2和3中明确展示的解之外，不会有额外的解。