正 $p$-能量的路径极小性、Laplacian 型谱与线图

我们推导了伴随论文中证明的邻接 $p$-能量路径极小性定理的几个应用。首先，我们在三种情形下证明了尖锐不等式 $$\mathcal E_p^+(G)\ge \mathcal E_p^+(P_n),$$ 其中 $P_n$ 是 $n$ 个顶点的路径：对所有实数 $p\ge2$ 的连通二分图，对所有奇数整数 $p\ge3$ 的所有连通图，以及对 $p=4$ 的所有连通图。其次，利用细分图，我们证明了 Laplacian 和符号 Laplacian 型谱和的路径极小性，包括幂和、Estrada 型量、预解能量和阈值尾部。第三，我们证明了阈值 $2$ 以上符号 Laplacian 的边数二阶止损比较。这产生了尖锐的线图不等式 $$\mathcal E_p^+(\mathcal L(G))\ge \mathcal E_p^+(P_m)$$ 对于每个具有 $m$ 条边的连通图 $G$ 和每个实数 $p\ge2$ 成立。