具有多维权重向量的树上的路径与祖先查询

我们考虑一个有 $n$ 个节点的序数树 $T$，每个节点被分配一个 $d$ 维权重向量 $\pnt{w} \in \{1,2,\ldots,n\}^d$，其中 $d \in \mathbb{N}$ 为常数。我们将路径查询研究为众所周知的{\textit{正交范围查询}}的推广，其中一个维度是树拓扑而非线性序。由于在我们将 $d$ 定义为仅表示权重向量的维数而不考虑树拓扑，具有 $d$ 维权重向量的树中的路径查询推广了相应的 $(d+1)$ 维正交范围查询。我们将{\textit{祖先优势报告}}问题作为优势报告问题的直接推广予以解决，在 $\O(\lg^{d-1}{n}+k)$ 时间内，空间为 $\O(n\lg^{d-2}n)$ 字，其中 $k$ 为输出大小，对 $d \geq 2$ 成立。对于同一问题，当 $d \geq 3$ 时，我们还实现了 $\O(n\lg^{d-2+\eps}{n})$ 字空间的折中，查询时间为 $\O((\lg^{d-1} n)/(\lg\lg n)^{d-2}+k)$。我们在 $\O(n\lg^{d-1}{n})$ 字空间和 $\O(\lg^{d-1+\eps}{n})$ 时间内解决{\textit{路径后继问题}}，对 $d \geq 1$ 和任意常数 $\eps > 0$ 成立。我们提出{\textit{路径计数问题}}的解，空间为 $\O(n(\lg{n}/\lg\lg{n})^{d-1})$ 字，查询时间为 $\O((\lg{n}/\lg\lg{n})^{d})$，对 $d \geq 1$。最后，我们在 $\O(n\lg^{d-1+\eps}{n})$ 字空间和 $\O((\lg^{d-1}{n})/(\lg\lg{n})^{d-2}+k)$ 查询时间内解决{\textit{路径报告问题}}，对 $d \geq 2$。这些结果匹配或几乎匹配相应范围查询的最佳折中。我们也是首个解决即便 $d = 1$ 的路径后继问题的。