部分交换多项式优化

用于交换和非交换多项式优化的半定规划层级代表了一种强大的计算工具，在量子信息中有许多应用。在这些应用中，给定的变量通常不是与所有其他变量交换或非交换，而是与某些变量交换，与另一些变量不交换，即变量满足一些部分交换关系。虽然这种部分交换关系总是可以通过半定规划松弛中的适当线性约束纳入完全非交换的框架，但从一开始就利用它们的代数性质可以产生更紧凑的松弛。这引导我们引入部分交换多项式优化，这是一个包含交换和非交换多项式优化的框架，允许变量之间存在任意的交换关系。我们指出，底层的代数结构是部分交换幺半群。我们提出并回顾了此类幺半群的几个关键方面，并展示了如何使用它们来构建部分交换多项式优化问题的 SDP 松弛，其中部分交换在单项式结构中原生实现，而无需额外的线性约束。