$k$-XOR 与张量 PCA 的平均情况归约

我们研究两个经典植入平均情况问题——噪声植入 $k$-XOR 和张量 PCA——的计算属性，通过将其形式化统一为以张量阶数 $k$、条目数 $m$ 和噪声水平 $\delta$ 为参数的植入问题族。我们在该族中构建了广泛的多项式时间平均情况归约，覆盖所有 $m \in [1, n^k]$ 的情形。在较密集的 $m \geq n^{k/2}$ 区域，我们的归约保持接近计算阈值的 proximity，并以一个中心应用，將 conjectured-hard $k$-XOR 实例与 $m \approx n^{k/2}$ 归约到 conjectured-hard 张量 PCA 实例。在固定密度处，我们给出新的降阶映射（例如 $5\to 4$ 用于 $k$-XOR，$7\to 4$ 用于张量 PCA）。在较稀疏的 $m \leq n^{k/2}$ 区域，我们将不同阶数的实例相关联，例如将 $m = n^{3.4}$ 的 7-XOR 归约到经典的 $3$-XOR 情况（$m = \widetilde\Theta(n^{1.4})$）。综合这些结果，在植入张量模型的空间中建立了计算难度的部分顺序。