区域包含与神经网络验证的参数化困难性

具有 ReLU 激活函数的神经网络是机器学习中广泛使用的模型。因此，深入理解此类网络所计算函数的性质至关重要。近期，人们对确定这些性质的（参数化）计算复杂性越来越感兴趣。在这项工作中，我们填补了若干空白，并解决了 Froese 等人 [COLT '25] 提出的一个关于网络验证相关问题的参数化复杂性的开放问题。具体而言，我们证明了，当以 $d$ 为参数时，判断一个由 2 层 ReLU 网络计算的函数 $f\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ 的正定性（从而满射性）是 W[1]-困难的。这一结果也意味着区域包含（或非包含）问题关于 $d$ 是 W[1]-困难的，该问题在计算几何、控制理论和机器人学中具有独立的研究意义。此外，我们还证明了，在 2 层 ReLU 网络中，以任何乘法因子近似最大值、计算 $p\in(0,\infty]$ 时的 $L_p$-Lipschitz 常数，以及在 3 层网络中近似 $L_p$-Lipschitz 常数，都是 NP-困难的，且关于 $d$ 是 W[1]-困难的。值得注意的是，我们的困难性结果是目前已知最强的，并暗示在指数时间假设下，解决这些基本问题的朴素枚举方法本质上都是最优的。