点代数上最小约束满足问题的参数化复杂性

点代数上的最小代价约束满足问题（MinCSP）的输入包含一组变量、形如 $x < y$、$x = y$、$x \leq y$ 和 $x \neq y$ 的约束集合，以及一个预算 $k$。目标是检查是否可以为变量赋予有理数值，同时破坏总代价至多为 $k$ 的约束。该问题推广了若干著名的图分离与横截问题：MinCSP$(<)$ 等价于有向反馈弧集，MinCSP$(<,\leq)$ 等价于有向子集反馈弧集，MinCSP$(=,\neq)$ 等价于边多割，MinCSP$(\leq,\neq)$ 等价于有向对称多割。除平凡情形外，在唯一博弈猜想下，对于 $\Gamma \subseteq \{<,=,\leq,\neq\}$ 的 MinCSP$(\Gamma)$ 即使在常数因子内近似也是 NP 难的。因此，我们在以解代价 $k$ 为自然参数的参数化下研究该问题的参数化复杂性。我们得到了完整的分类：若 $\Gamma \subseteq \{<,=,\leq,\neq\}$ 同时包含 $\leq$ 和 $\neq$，则 MinCSP$(\Gamma)$ 是 W[1]-难的，否则它是固定参数可处理的。对于肯定情形，我们求解了 MinCSP$(<,=,\neq)$，推广了有向反馈弧集与边多割及其加权版本的 FPT 结果。我们的算法通过将问题归约为布尔 MinCSP 来求解，而后者又通过流增广求解。对于下界，我们证明了有向对称多割是 W[1]-难的，解决了一个开放问题。