持久同调过滤的并行多尺度约简

持久同调流程包括对所谓的边界矩阵进行约简。我们扩展了 Bauer 等 (2014) 和 Chen 等 (2011) 的工作, 他们展示了如何利用边界矩阵中的依赖关系来调整 Edelsbrunner 等 (2002) 提出的约简算法, 以降低其计算成本。在此, 我们提出了边界矩阵中若干额外的依赖关系, 并提出了一种用于边界矩阵约简的新型并行算法。特别地, 我们展示了: 约简的一部分是直接显现的, 给出了剩余列所需约简的界限, 并由此给出了一个可对边界约简过程进行大规模并行化的框架。在四个合成示例上的模拟表明, 计算负担可以在约为传统方法所需迭代次数千分之一的迭代中完成。此外, 传统的边界约简按过滤顺序依次揭示条形码, 而该方法提供了一种替代方案, 使得条形码可以在多个尺度上同时被部分揭示, 并随着算法的推进进一步细化; 模拟表明, 对于具有 $\sim10^4$ 个单纯形的 Vietoris-Rips 过滤, 具有 95% 精度的重要单纯形估计可在两次迭代中计算得出, 并且使用我们的算法在约十次迭代内即可完成 1% 以内的约简, 而传统方法则需要大约八千次迭代。