两个旗簇与一条直线的乘积上的轨道及Bruhat序，II

设$G=GL(n)$为$n\times n$复一般线性群，$\B_{n}$为其旗簇。$G$的Borel子群$B$对角作用在$\B_{n}\times \mathbb{P}^{n-1}$上，具有有限多个轨道。在本文中，我们给出了$\B_{n}\times \mathbb{P}^{n-1}$上的$B$-轨道到$GL(n+1)$的旗簇$\B_{n+1}$上的$B$-轨道的嵌入，并证明了该对应关系保持闭包关系并保持幺半群作用。因此，利用我们在\cite{Shpairs}中的结果，$\B_{n}\times\mathbb{P}^{n-1}$上所有$B$-轨道的闭包关系和幺半群作用都可以通过$n+1$个字母上的对称群上的Bruhat序来理解。这通过使闭包关系更加透明来加强Magyar \cite{Magyar}的工作，并允许我们使用Demazure积计算幺半群作用。如果$S_i$是第$i$个标准基向量张成的直线在$B$中的稳定化子，我们给出了$\B_n$上的$S_i$-轨道到$\B_{n+1}$中单个$G$-轨道内的$B$-轨道的嵌入，并且该嵌入在上述结果中起着至关重要的作用。我们扩展了我们的论文\cite{CE21I}、\cite{CE21II}和\cite{Shpairs}中的结果，并特别证明了对于$\B_n$上的$S_i$-轨道，闭包序由Richardson-Springer标准序给出。