通过有限多个点选取 Nash 曲线的 lemmas

实代数与分析几何中一个著名的定理（最初由 Bruhat-Cartan 和 Wallace 提出，后由 Milnor 以当前形式表述）是（Nash）曲线选择引理。它指出：集合 ${\mathcal S}\subset{\mathbb R}^n$ 的闭包中的每个点，都可以通过 ${\mathbb R}^n$ 中的一条 Nash 弧到达，且该弧的至少一个分支包含在 ${\mathcal S}$ 中。本文的目的是将此前结果推广到有限多个点。更准确地说，设 ${\mathcal S}\subset\R^n$ 为半代数集，设 $x_1,\ldots,x_r\in{\mathcal S}$ 为 $r$ 个点（我们称之为“控制点”），设 $0=:t_1<\ldots<t_r:=1$ 为 $r$ 个值（我们称之为“控制时间”）。一个自然的“物流”问题关心是否存在一条光滑且半代数（Nash）路径 $\alpha:[0,1]\to{\mathcal S}$，使得在控制时间处通过控制点，即 $\alpha(t_k)=x_k$ for $k=1,\ldots,r$。当控制点的数量足够大且处于一般位置时，保证存在 $\alpha$ 的必要充分条件是 ${\mathcal S}$ 由解析曲线连接。存在不含有理曲线的一般实代数集表明，涉及多项式路径（而非 Nash 路径）的类似结果仅在附加限制条件下才可能。一个充分条件是 ${\mathcal S}\subset\R^n$ 额外具有维数 $n$。一个相关问题涉及对现有连续半代数路径 $\beta:[0,1]\to{\mathcal S}$（具有控制点 $x_1,\ldots,x_r\in\Ss$ 和控制时间 $0=:t_1<\ldots<t_r:=1$）的 Nash 路径逼近。一个充分条件是 $\beta$ 不光滑处的值（有限集合）$\eta(\beta)$ 包含在 ${\mathcal S}$ 的正则点集合中，且 $\eta(\beta)$ 不与控制时间集合相交。