量子逻辑综合中 CNOT 电路的空间-深度最优折衷

在量子计算机当前的物理实现中，退相干使得深度缩减成为量子电路设计中的一项关键任务。Moore 和 Nilsson（SIAM Journal of Computing, 2001）证明，额外的量子比特——称为 ancillae（辅助比特）——可用于提供扩展空间以并行化量子电路。具体而言，他们证明，利用 $O(n^2)$ 个 ancillae，任何 $n$ 量子比特 CNOT 电路都可被转换为等价的 $O(\log n)$ 深度电路。然而，近期量子技术仅能支持有限数量的量子比特，使得空间-深度折衷成为量子电路综合的基础研究课题。本工作中，我们建立了 CNOT 电路渐近最优的空间-深度折衷。我们证明，任何 $n$ 量子比特 CNOT 电路都可借助 $m$ 个 ancillae 并行化为 $$O\left(\max\left\{\log n, \frac{n^2}{(n+m)\log (n+m)}\right\}\right)$$ 深度。即便将任务从精确综合扩展为任意双量子比特量子门对 CNOT 电路的近似，该界也是紧的。我们的结果可通过 Aaronson 和 Gottesman（Physical Review A, 2004）的归约扩展至 stabilizer 电路。此外，我们针对 CNOT 电路在规模或深度上的优化提供了困难性证据。我们的结果改进了启发本工作的两篇先前论文。Moore-Nilsson 的构造（前述）用于 $O(\log n)$ 深度 CNOT 电路综合：我们通过证明 $m= O(n^2/\log^2 n)$ 个额外量子比特——这是渐近最优的——足以构建等价的 $O(\log n)$ 深度、$O(n^2/\log n)$ 规模的 CNOT 电路，将其对 ancillae 的需求降低了 $\log^2 n$ 倍。Patel-Markov-Hayes 的构造（Quantum Information & Computation 2008）针对 $m = 0$：我们将其深度降低了 $n$ 倍，并达到了 $O(n/\log n)$ 的渐近最优界。