动态迹估计的最优查询复杂度

我们考虑在底层矩阵缓慢变化的动态设置（例如优化过程中）中，最小化准确迹估计所需矩阵-向量查询次数的问题。具体而言，对于任意$m$个矩阵$A_1,...,A_m$，其连续差异在Schatten-$1$范数下以$\alpha$为界，我们提供一种新颖的二叉树求和过程，以$\delta$失败概率同时估计所有$m$个迹至$\epsilon$误差，其最优查询复杂度为$\widetilde{O}\left(m \alpha\sqrt{\log(1/\delta)}/\epsilon + m\log(1/\delta)\right)$，改进了Dharangutte和Musco（NeurIPS, 2021）中对$\alpha$和$\delta$的依赖。我们的过程无需对$A_i$的额外范数界，并可推广到$p \in [1,2]$时的第$p$个Schatten范数的界，给出复杂度$\widetilde{O}\left(m \alpha\left(\sqrt{\log(1/\delta)}/\epsilon\right)^p +m \log(1/\delta)\right)$。通过使用对通信复杂度的新颖归约和高斯矩阵的信息论分析，我们提供了静态和动态迹估计在所有相关参数（包括失败概率）上的匹配下界。我们的下界（1）给出了即使在静态设置下Frobenius范数误差的矩阵-向量乘积模型中Hutchinson估计器的首个紧界，以及（2）是动态迹估计的首个无条件下界，解决了先前工作的开放问题。