对称矩形斯坦纳有向树及相关问题的最优竞争比

我们针对两个涉及斯坦纳有向树 (Steiner Arborescence) 的相互关联已知问题，提出了最优竞争算法。一个是 Berman 和 Coulston 研究的对称矩形斯坦纳有向树 (SRSA) 连续问题。另一个是非常相关但离散的问题，即 Papadimitriu、Ramanathan 和 Rangan 最初提出的线网络上的在线多媒体内容分发 (MCD) 问题。高效的内容分发被建模为他们定义的网络*时间网格中的低成本斯坦纳有向树。我们在此研究的是 Charikar、Halperin 和 Motwani 研究的版本（他们使用了相同的问题定义，但移除了一些输入约束）。上述论文中分别引入的竞争比界限对于这两个问题是相似的：连续问题为 $O(\log N)$，网络问题为 $O(\log n)$，其中 $N$ 是要服务的终端数量，$n$ 是网络规模。相应的下界分别为 $\Omega(\sqrt{\log N})$ 和 $\Omega(\sqrt{\log n})$。Berman 和 Coulston 猜想上下界均可改进。我们驳斥了这一猜想，并填补了这两个问题的二次差距。首先，我们提出了一种针对线上 MCD 的 $O(\sqrt{\log n})$ 确定性竞争算法，匹配了下界。随后，我们将该算法转化为 SRSA 的竞争最优算法 $O(\sqrt{\log N})$。最后，我们将后者转化回以解决 MCD 问题，此次即使在请求数量较少的情况下也能实现竞争最优（即 $O(\min\{\sqrt{\log n},\sqrt{\log N}\})$）。我们还提出了任何随机算法竞争性的 $\Omega(\sqrt[3]{\log n})$ 下界。部分技术可能适用于其他场景。