双专家情形下的最优任意时刻遗憾

我们考虑经典的专家建议预测问题。在固定时间设置中，时间范围预先已知，当专家数为二、三或四，或专家数很大时，达到最优遗憾的算法是已知的。关于任意时刻设置（时间范围预先未知）下的问题则知之甚少。此前在任何专家数下都没有已知的最小最大最优算法。即便对于两个专家的情形，Luo 和 Schapire 也留下了确定最优算法的开放问题。我们设计了首个用于最小化任意时刻设置下遗憾的最小最大最优算法。我们考虑两个专家的情形，并证明在所有时间步 $t$ 处最优遗憾为 $\gamma \sqrt{t} / 2$，其中 $\gamma$ 是一个自然常数，源于 35 年前对布朗运动基本性质的研究。该算法通过考虑遗憾问题的连续类比来设计，并利用随机微积分的思想求解。