通过VB-FTRL以对数损失在线学习量子态

以对数损失在线学习量子态（LL-OLQS）是在线投资组合选择（OPS）的量子推广，而OPS是在线学习领域一个经典的开问题，已逾三十载。该问题也出现在最大似然量子态层析的随机优化算法设计中。近期，Jezequel等人（arXiv:2209.13932）提出了VB-FTRL算法，这是首个具有适中计算复杂度的OPS遗憾最优算法。在本文中，我们将VB-FTRL推广至LL-OLQS。令 $d$ 表示维度， $T$ 表示轮数。该推广算法对LL-OLQS实现了 $O ( d^2 \log ( d + T ) )$ 的遗憾率。算法的每次迭代包含求解一个半定规划，可通过例如割平面法在多项式时间内实现。作为比较，当前LL-OLQS已知最佳遗憾率为 $O ( d^2 \log T )$，由指数权重法实现。然而，针对LL-OLQS的指数权重法尚无显式实现可用。为促成推广，我们引入VB-凸性的概念。VB-凸性是任意函数相关的体积障碍为凸的充分条件，且具有独立意义。