每行两次观测下的单侧矩阵补全

给定低秩矩阵 $X$ 的少量观测项，矩阵补全旨在填补缺失项，其形式化了涉及估计缺失数据的广泛现实场景。然而，当观测项过少而无法补全矩阵时，底层矩阵的其他哪些方面可被可靠恢复？我们研究其中一种问题设定，即“单侧”矩阵补全，其目标是恢复 $X$ 的右奇异向量，即便在无法恢复左奇异向量的情形下（当行数多于列数且观测极少时出现）。我们提出一种自然算法，对矩阵 $X^TX$ 的缺失值进行填补，并证明即使 $X$ 中每行仅有两个观测值，只要行数至少为 $\Omega(r^2 d \log d)$（其中 $r$ 为秩，$d$ 为列数），即可证明恢复 $X^TX$。我们在合成数据与低覆盖度基因组测序的单侧恢复上评估了算法。在这些设定中，我们的算法大幅优于标准矩阵补全及多种直接分解方法。