欧几里得空间薄子集中超图确定的体积向量

推广 Falconer 距离问题，本文作者最近在足够高的维度中为任何距离图建立了第一个非平凡的维数阈值。所开发的方法足够灵活，可以基于两点构型的 $k$-星的结果，将欧几里得距离推广到任何两点构型。一个自然的问题出现了：对于涉及多于两个点的构型会发生什么。在本文中，我们考虑 Falconer 距离问题的一个经典三点变体，即三角形面积问题及其对单纯形体积的推广。在这个模型案例中，我们开发了两种方法。一种我们称之为 Jacobian 方法，通过 Heron 公式，使我们能够利用先前关于距离图的结果，并为由广泛的单纯形超图确定的体积向量获得非平凡阈值。即使在单个单纯形体积的经典情况下，如果维数远大于单纯形的大小，该方法也能产生已知的最佳维数阈值。我们提出了一个与刚性理论相关的猜想。Jacobian 方法在高维中效果最好，因此在平面三角形面积的情况下，我们改进了 Shmerkin 和 Yavicoli 的工作（他们最近解决了平面三角形面积的猜想），并获得了构建块，从中我们可以得到由某些三角形超图（例如在边或顶点上连接的三角形链）确定的面积向量的丰富性。这些结果改进并扩展了 Galo 和 McDonald 以及 Greenleaf、Iosevich 和 Taylor 的现有结果。