关于某些自然打包、覆盖和划分问题的可处理性

在本文中，我们固定了 7 种无向图类型：路径、具有指定端点的路径、回路、森林、生成树、（不一定生成的）树和割。给定一个无向图 $G=(V,E)$ 以及从上述选项中选择的两种“对象类型”$\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$，我们考虑以下问题。\textbf{打包问题：}我们能否在 $G$ 的边集 $E$ 中找到一个 $\mathrm{A}$ 类型对象和一个 $\mathrm{B}$ 类型对象，使它们边不相交？\textbf{划分问题：}我们能否将 $E$ 划分为一个 $\mathrm{A}$ 类型对象和一个 $\mathrm{B}$ 类型对象？\textbf{覆盖问题：}我们能否用一个 $\mathrm{A}$ 类型对象和一个 $\mathrm{B}$ 类型对象覆盖 $E$？该框架包含了 44 个自然的图论问题。其中一些问题此前已为人所知，例如用两棵生成树覆盖图的边集，或者寻找两条边不相交的 $s$-$t$ 路径 $P$ 和 $s'$-$t'$ 路径 $P'$。然而，许多其他问题此前未知，例如能否找到一条 $s$-$t$ 路径 $P\subseteq E$ 和一棵生成树 $T\subseteq E$ 使它们边不相交？大多数这些此前未知的问题被证明是 NP 完全的，其中许多甚至在平面图中也是如此。本文确定了这 44 个问题的状态。对于 NP 完全问题，我们还研究了其平面版本；对于多项式时间可解的问题，我们考虑了其拟阵推广（在有意义的情况下）。