论奇异三元幺半群的结构及其虚拟扩张

本文引入了与 $n$ 股三元群 $L_n$ 相关联的两种新代数结构：奇异三元幺半群 $SLM_n$ 及其虚拟扩张 $VSLM_n$，它们是类比奇异辫幺半群与虚拟奇异辫幺半群定义的。我们首先用生成元和关系给出这些幺半群的表示，然后推导出 $VSLM_n$ 的若干替代表示。其次，我们研究将 $L_n$ 的表示扩张到这些幺半群的问题。我们发展了两种扩张方法：适用于 $k$-局部表示的 $k$-局部型扩张，以及适用于满足适当交换性条件的表示的 $\Phi$-型扩张。我们证明 $L_n$ 的每个 $2$-局部表示均可通过这两种方法扩张到 $SLM_n$ 和 $VSLM_n$。作为应用，我们考虑 Nasser 等人近期引入的一个具体表示 $\mu : L_n \longrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}[t^{\pm1}])$。我们显式确定了 $\mu$ 到 $SLM_n$ 和 $VSLM_n$ 的所有齐次 $2$-局部扩张，并计算了相应的 $\Phi$-型扩张。此外，我们比较了这两种扩张方法，证明了在适当的参数条件下它们对 $SLM_n$ 是一致的，而对 $VSLM_n$ 则不一致。这些结果为将 $L_n$ 的表示扩张到 $SLM_n$ 和 $VSLM_n$ 提供了系统框架。